Question

定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），滿足f（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x₀是它的一個均值點．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函數(shù)”，0就是它的均值點．給出以下命題：
①函數(shù)f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“平均值函數(shù)”；
②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，則它的均值點x₀≥

a+b

2

；
③若函數(shù)f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“平均值函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是m∈（0，2）；
④若f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數(shù)”，x₀是它的一個均值點，則lnx₀＜

1

ab

．
其中的真命題有

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：直接利用定義判斷①的正誤；利用反例判斷②的正誤；利用定義推出m的范圍判斷③的正誤；利用分析法直接證明結合函數(shù)的導數(shù)即可證明④的正誤．

解答： 解：①容易證明正確．函數(shù)f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“平均值函數(shù)”；-1就是它的均值點．
②不正確．反例：f（x）=x在區(qū)間[0，6]上．
③正確．由定義：x02-mx0-1=

-m-m

2

得x02-1=(x0-1)m⇒m=x0+1，
又x₀∈（-1，1）所以實數(shù)m的取值范圍是m∈（0，2）．
④正確．理由如下：由題知lnx0=

lnb-lna

b-a

．
要證明lnx0＜

1

ab

，即證明：

lnb-lna

b-a

＜

1

ab

?ln

b

a

＜

b-a

ab

=

b a

-

a b

，
令

b a

=t＞1，原式等價于lnt2＜t-

1

t

?2lnt-t+

1

t

＜0．
令h(t)=2lnt-t+

1

t

(t＞1)，則h′(t)=

2

t

-1-

1

t2

=

-t2+2t-1

t2

=-

(t-1)2

t2

＜0，
所以h(t)=2lnt-t+

1

t

＜h(1)=0得證．
故答案為：①③④．

點評：本題考查新定義的應用，函數(shù)的導數(shù)以及分析法的應用，考查分析問題解決問題的能力．