Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²

x

2

-

3

sinx．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（2）若α為第二象限角，且f(α-

π

3

)=

1

3

，求

cos2α

1+cos2α-sin2α

的值．
（3）將函數(shù)f （x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，再向右平移

π

6

個單位，得到的函數(shù)設(shè)為g（x），求

∫

3π 4 π 2

g(x)dx的值．

Answer 1

考點(diǎn)：微積分基本定理,二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)f（x）變形為f（x）=1+2cos（x+

π

3

），從而求出函數(shù)的周期和值域；
（2）將

cos2α

1+cos2α-sin2α

化簡為

cosα+sinα

2cosα

，再求出sinα，cosα的值，代入即可；
（3）由（1）知f(x)=1+2cos(x+

π

3

)，經(jīng)過變換后得到的函數(shù)g（x）=1+2cos2x，從而得出答案．

解答： 解：（1）∵f(x)=1+cosx-

3

sinx=1+2cos(x+

π

3

)，
∴函數(shù)f（x）的周期為2π，
又∵-1≤cos(x+

π

3

)≤1，
故函數(shù)f（x）的值域為[-1，3]；
（2）∵f(α-

π

3

)=

1

3

，∴1+2cosα=

1

3

，即cosα=-

1

3

，
∵

cos2α

1+cos2α-sin2α

=

cos2α-sin2α

2cos2α-2sinαcosα

=

(cosα+sinα)(cosα-sinα)

2cosα(cosα-sinα)

=

cosα+sinα

2cosα

，
又∵α為第二象限角，且cosα=-

1

3

，∴sinα=

2 2

3

，
∴原式=

cosα+sinα

2cosα

=

- 1 3 + 2 2 3

- 2 3

=

1

2

-

2

；
（3）由（1）知f(x)=1+2cos(x+

π

3

)，
經(jīng)過變換后得到的函數(shù)g（x）=1+2cos2x，
∴

∫

3π 4 π 2

g(x)dx=

∫

3π 4 π 2

(1+2cos2x)dx=(x+sin2x)|_

π

2

3π

4

=

π

4

-1．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查了三角恒等變換，考查了微積分基本定理，是一道中檔題．