Question

6．如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是線段PA上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：平面PAC⊥平面NEF；
（2）若PC∥平面MEF，試求PM：MA的值；
（3）在第（2）問的條件下，求平面MEF與平面NEF的夾角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，通過證明EF⊥平面PAC，然后證明平面PAC⊥平面NEF；
（2）幾何法：利用直線與平面平行，通過相似比直接推出PM：MA的值．
向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，推出點(diǎn)M為線段PA上靠近P的四等分點(diǎn)，得到結(jié)果．
（3）分別求出平面MEF的法向量和平面NEF的法向量，由此利用向量法能求出平面MEF與平面NEF的夾角的大�。�

解答 證明：（1）連結(jié)BD，∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
又∵BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
又∵E，F(xiàn)分別是BC、CD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，
∴EF⊥平面PAC，又EF?平面NEF，
∴平面PAC⊥平面NEF；
解：（2）（幾何法）
連結(jié)OM，∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，
∴PC∥OM，
∴$\frac{PM}{PA}=\frac{OC}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
∴PM：MA=1：3
（向量法）
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，4），C（4，4，0），E（4，2，0），F(xiàn)（2，4，0），
∴$\overrightarrow{PC}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{EF}$=（-2，2，0），
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（0，0，m），則$\overrightarrow{ME}$=（4，2，-m），
設(shè)平面MEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ME}=4x+2y-mz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\frac{6}{m}$），
∵PC∥平面MEF，∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}$=4+4-$\frac{24}{m}$=0，解得m=3，
故AM=3，即點(diǎn)M為線段PA上靠近P的四等分點(diǎn)，
∴PM：MA=1：3．
（3）E（4，2，0），F(xiàn)（2，4，0），M（0，0，3），N（4，4，2），
$\overrightarrow{EF}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{EM}$=（-4，-2，3），$\overrightarrow{EN}$=（0，2，2），
設(shè)平面MEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=-4x-2y+3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
設(shè)平面NEF的法向量$\overrightarrow{m}=（a，b，c）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=-2a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EN}=2b+2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1+1-2=0，
∴平面MEF與平面NEF的夾角的大小為$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查兩線段比值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．