Question

12．已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{{D_1}F}$=μ$\overrightarrow{{D_1}B}$，其中λ∈（0，1），μ∈（0，1），滿足EF∥平面AA₁D₁D，則當三棱錐A-EFB₁的體積最大時，λ+μ的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 連結AD₁，則由線面平行的性質得EF∥AD₁，于是$EF=\sqrt{2}（1-λ）$，AE=λ=μ．過A₁作A₁M⊥AD₁，則A₁M⊥平面ABD₁，AB⊥EF．A₁M=$\frac{A{A}_{1}•{A}_{1}{D}_{1}}{A{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．所以V${\;}_{A-EF{B}_{1}}$=V${\;}_{{B}_{1}-AEF}$=V${\;}_{{A}_{1}-AEF}$$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}•{A}_{1}M$，使用基本不等式求出體積取得最大值時成立的條件，從而得到λ，μ的值．

解答 解：連結AD₁，∵EF∥平面AA₁D₁D，EF?平面ABD₁，平面ABD₁∩平面AA₁D₁D=AD₁
∴EF∥AD₁，∴$\frac{EF}{A{D}_{1}}=\frac{BE}{AB}=1-λ$，∴$EF=\sqrt{2}（1-λ）$，AE=λ=μ．
過A₁作A₁M⊥AD₁，
∵AB⊥平面AA₁D₁D，A₁M?平面AA₁D₁D，AD₁?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥AD₁，AB⊥A₁M，
∴A₁M⊥平面ABD₁，AB⊥EF．
∵A₁M=$\frac{A{A}_{1}•{A}_{1}{D}_{1}}{A{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V${\;}_{A-EF{B}_{1}}$=V${\;}_{{B}_{1}-AEF}$=V${\;}_{{A}_{1}-AEF}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}•{A}_{1}M$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×λ×\sqrt{2}（1-λ）×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$λ（1-λ）≤$\frac{1}{6}×（\frac{λ+1-λ}{2}）^{2}$=$\frac{1}{24}$．
當且僅當λ=1-λ即$λ=\frac{1}{2}$時取等號，∴λ+μ=1．
故選D

點評 本題考查了正方體的結構特征，線面平行的性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．