Question

【題目】已知函數(shù) ，且 ．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣5，﹣1]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得： ，

即：4m=4，解得：m=1

（2）解：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

證明：設(shè)0＜x1＜x2，

則 = ；

∵0＜x1＜x2

∴ ，

即f（x2）﹣f（x1）＜0，

∴f（x2）＜f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)

（3）解：由（1）知：函數(shù) ，其定義域?yàn)閧x|x≠0}．

∴ ，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

由（2）知：f（x）在[1，5]上為減函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣5，﹣1]上為減函數(shù)．

∴當(dāng)x=﹣5時(shí)，f（x）取得最大值，最大值為 ；

當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為f（﹣1）=﹣2+1=﹣1

【解析】（1）由 代入可求m；（2）先設(shè)0＜x1＜x2 ， 利用作差可得 = ，根據(jù)已知判斷比較f（x2）與f（x1）即可；（3）由（1）知：函數(shù) ，其定義域?yàn)閧x|x≠0}．且可證函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．結(jié)合（2）知f（x）在[1，5]上為減函數(shù)，則根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣5，﹣1]上為減函數(shù)．結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和奇偶性與單調(diào)性的綜合是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．