Question

13．平面直角坐標系xOy中，已知F₁、F₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且右焦點F₂的坐標為（$\sqrt{3}$，0），點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）在橢圓C上任取一點P，點Q在PO的延長線上，且$\frac{|OQ|}{|OP|}$=2．
（1）當點P在橢圓C上運動時，求點Q形成的軌跡E的方程；
（2）若過點P的直線l：y=x+m交（1）中的曲線E于A，B兩點，求△ABQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的焦點坐標和點在橢圓C上，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）（1）設P（2cosθ，sinθ），則Q（4cosθ，2sinθ），0≤θ＜2π，由此能求出當點P在橢圓C上運動時，求點Q形成的軌跡E的方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得5x²+8mx+4m²-16=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式，結(jié)合已知能求出△ABQ面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁、F₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，
且右焦點F₂的坐標為（$\sqrt{3}$，0），點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（Ⅱ）（1）∵在橢圓C上任取一點P，點Q在PO的延長線上，且$\frac{|OQ|}{|OP|}$=2，
∴設P（2cosθ，sinθ），則Q（4cosθ，2sinθ），0≤θ＜2π，
∴當點P在橢圓C上運動時，求點Q形成的軌跡E的方程：
$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，
∴點E的直角坐標方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得5x²+8mx+4m²-16=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-16}{5}$，
△=64m²-80m²+320＞0，解得-2$\sqrt{5}＜m＜2\sqrt{5}$，
|AB|=$\sqrt{2[（-\frac{8m}{5}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-16}{5}]}$=$\frac{4}{5}\sqrt{10-{m}^{2}}$，
設Q到直線y=x+m的距離d=$\frac{|{x}_{Q}-{y}_{Q}+m|}{\sqrt{2}}$，
∵x_Q=2x_P，y_Q=2y_P，=2（x_P+m），
則$\frac{|2{x}_{P}-2{x}_{P}-2m+m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得5x²+8mx+4m²-4=0，
△=80-16m²≥0，即m²≤5，
∴${S}_{△ABQ}=\frac{1}{2}d•|AB|$=$\frac{1}{2}×\frac{|m|}{\sqrt{2}}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{320-16{m}^{2}}}{5}$
=$\frac{2}{5}\sqrt{-{m}^{4}+20{m}^{2}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{-（{m}^{2}-10）^{2}+100}$，
當m²=5時，S_△ABQ最大，且S_△ABQ最大值為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式的合理運用．