Question

18．已知直線l：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（1）求證：不論m為何實數，直線l恒過一定點M；
（2）過定點M作一條直線l₁，使夾在兩坐標軸之間的線段被M點平分，求直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）直線l解析式整理后，找出恒過定點坐標，判斷即可得證；
（2）由題意得到直線l₁過的兩個點坐標，利用待定系數法求出解析式即可．

解答 （1）證明：直線l整理得：（2x+y+4）+m（x-2y-3）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=-4}\\{x-2y=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
則無論m為何實數，直線l恒過定點（-1，-2）；
（2）解：∵過定點M（-1，-2）作一條直線l₁，使夾在兩坐標軸之間的線段被M點平分，
∴直線l₁過（-2，0），（0，-4），
設直線l₁解析式為y=kx+b，
把兩點坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
則直線l₁的方程為y=-2x-4，即2x+y+4=0．

點評 此題考查了待定系數法求直線方程，以及恒過定點的直線，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．