Question

3．如圖，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，上頂點(diǎn)為B，從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F，且A₂B∥OP，|FA₂|=$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$，過(guò)A₂作x軸的垂線l，點(diǎn)M是l上任意一點(diǎn)，A₁M交橢圓于點(diǎn)N，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（　�。�

• A． 10
• B． 5
• C． 15
• D． 隨點(diǎn)M在直線l上的位置變化而變化

Answer 1

分析 由F的坐標(biāo)，求得P的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線平行的條件：斜率相等，可得b=c，再由條件可得a=$\sqrt{10}$，b=c=$\sqrt{5}$，求得橢圓方程，設(shè)出M的坐標(biāo)，設(shè)出直線MN的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，由韋達(dá)定理可得N的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到N的縱坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由F（-c，0），可得P（-c，$\frac{^{2}}{a}$），
A₂（a，0），B（0，b），即有k_OP=${k}_{{A}_{2}B}$，
可得-$\frac{^{2}}{ac}$=-$\frac{a}$，即有b=c，a=$\sqrt{2}$c，
|FA₂|=a+c=$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$，
解得a=$\sqrt{10}$，b=c=$\sqrt{5}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
設(shè)M（$\sqrt{10}$，t），A₁（-$\sqrt{10}$，0），
即有直線A₁M：y=$\frac{t}{2\sqrt{10}}$（x+$\sqrt{10}$），
代入橢圓方程x²+2y²=10，
可得（20+t²）x²+2$\sqrt{10}$t²x+10t²-200=0，
（-$\sqrt{10}$）•x_N=$\frac{10{t}^{2}-200}{20+{t}^{2}}$，
可得x_N=$\frac{（20-{t}^{2}）\sqrt{10}}{20+{t}^{2}}$，
y_N=$\frac{t}{2\sqrt{10}}$（x_N+$\sqrt{10}$）=$\frac{20t}{20+{t}^{2}}$，
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\sqrt{10}$•$\frac{（20-{t}^{2}）\sqrt{10}}{20+{t}^{2}}$+t•$\frac{20t}{20+{t}^{2}}$
=$\frac{200+10t}{20+{t}^{2}}$=10．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線的方程的運(yùn)用，以及聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．