Question

13．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E是線段BC的中點．
（1）證明：ED⊥PE；
（2）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出DE⊥PA，DE⊥AE，從而DE⊥平面PAE，由此能證明PE⊥ED．
（2）建立空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能求出二面角A-PD-E的余弦值．

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
∴DE⊥PA．
連接AE，∵AD=2AB，
∴由勾股定理可得DE⊥AE．
∴DE⊥平面PAE，
∵PE?平面PAE，∴PE⊥ED．…（6分）
解：（2）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角．
∵PB與平面ABCD所成的角為45°，∴∠PBA=45°，PA=1．
如圖建立所示的空間直角坐標系A-xyz，
則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
E（1，1，0），$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{PE}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{DE}$=（1，-1，0）．
∴AB⊥平面PAD，∴$\overrightarrow{AB}$是平面PAD的法向量．
設平面PED的法向量為n=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{n}•\overrightarrow{PE}=0\\{n}•\overrightarrow{DE}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x+y-z=0\\ x-y=0\end{array}\right.$．令z=1，得x=y=$\frac{1}{2}$，所以n=$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1）$．
$|{cos＜\overrightarrow{AB}，{n}＞}|=|{\frac{{\overrightarrow{AB}•{n}}}{{|\overrightarrow{AB}||{n}}}}|=\frac{{\frac{1}{2}}}{{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（10分）
∵二面角A-PD-E是銳二面角，∴二面角A-PD-E的余弦值$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．