分析 (1)推導(dǎo)出DE⊥PA,DE⊥AE,從而DE⊥平面PAE,由此能證明PE⊥ED.
(2)建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,利用向量法能求出二面角A-PD-E的余弦值.
解答 證明:(1)∵在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
∴DE⊥PA.
連接AE,∵AD=2AB,
∴由勾股定理可得DE⊥AE.
∴DE⊥平面PAE,
∵PE?平面PAE,∴PE⊥ED.…(6分)
解:(2)∵PA⊥平面ABCD,∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角.
∵PB與平面ABCD所成的角為45°,∴∠PBA=45°,PA=1.
如圖建立所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,1),
E(1,1,0),→AB=(1,0,0),→PE=(1,1,-1),→DE=(1,-1,0).
∴AB⊥平面PAD,∴→AB是平面PAD的法向量.
設(shè)平面PED的法向量為n=(x,y,z),
由{n•→PE=0n•→DE=0得{x+y−z=0x−y=0.令z=1,得x=y=12,所以n=(12,12,1).
|cos<→AB,n>|=|→AB•n|→AB||n|=12√14+14+1=√66.…(10分)
∵二面角A-PD-E是銳二面角,∴二面角A-PD-E的余弦值√66.…(12分)
點評 本題考查線線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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A. | \frac{{8\sqrt{3}}}{3} | B. | \frac{{4\sqrt{3}}}{3} | C. | 2\sqrt{3} | D. | 2\sqrt{15} |
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