Question

12．已知直線l與圓O：x²+y²=$\frac{1}{2}$切于點(diǎn)P，與焦點(diǎn)為F的拋物線C：y²=4x相切于點(diǎn)Q，則S_△FPQ=（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 設(shè)直線l：y=kx+m，由直線和圓相切的條件：d=r，及直線和拋物線相切的條件：判別式為0，解方程可得k=m=1或-1，聯(lián)立方程，解得P，Q的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式，即可得到所求三角形的面積．

解答 解：設(shè)直線l：y=kx+m，
由直線l與圓O：x²+y²=$\frac{1}{2}$相切，可得
d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，①
又$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
直線l和拋物線y²=4x相切，可得△=（2km-4）²-4k²m²=0，
化為km=1，②
由①②解得k=m=1或k=m=-1，
由對稱性可設(shè)直線l：y=x+1，
代入拋物線的方程可得x²-2x+1=0，可得切點(diǎn)Q（1，2），
代入圓的方程，可得4x²+4x+1=0，可得切點(diǎn)P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則|PQ|=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（2-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
F（1，0）到直線l的距離為d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有S_△FPQ=$\frac{1}{2}$d•|PQ|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，直線和拋物線相切的條件：判別式為0，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．