Question

17．已知拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作圓M：（x-2）²+y²=1的兩條切線，切點(diǎn)為P、Q，且|PQ|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線的焦點(diǎn)F作斜率為k₁的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不為2，連接AM，BM并延長分別交拋物線于C、D兩點(diǎn)，設(shè)直線CD的斜率為k₂，問$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的準(zhǔn)線方程，可得N的坐標(biāo)，圓M的圓心和半徑，可得四點(diǎn)N，P，M，Q共圓，且MN為直徑，設(shè)為2R，在△PMQ中，運(yùn)用余弦定理和正弦定理，可得2R=3，求得p=2，即可得到拋物線的方程；
（2）求得拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），運(yùn)用直線的斜率公式，求得k₁，k₂，及$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$，設(shè)出直線AC，BD和AB的方程，聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，計算即可得到定值2．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，N（-$\frac{p}{2}$，0），
圓M：（x-2）²+y²=1的圓心M（2，0），半徑r=1，
由PM⊥PN，QM⊥QN，可得四點(diǎn)N，P，M，Q共圓，且MN為直徑，設(shè)為2R，
在△PMQ中，|MP|=|MQ|=1，|PQ|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
由余弦定理可得cos∠PMQ=$\frac{1+1-\frac{32}{9}}{2×1×1}$=-$\frac{7}{9}$，
可得sin∠PMQ=$\sqrt{1-\frac{49}{81}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
即有2R=$\frac{|PQ|}{sin∠PMQ}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$×$\frac{9}{4\sqrt{2}}$=3，
即2+$\frac{p}{2}$=3，解得p=2，
可得拋物線的方程為y²=4x；
（2）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
同理可得k₂=$\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
設(shè)AC所在的直線方程為y=m（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=m（x-2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得my²-4y-8m=0，
即有y₁y₃=-8，同理可得y₂y₄=-8，
即有$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{\frac{-8}{{y}_{1}}+\frac{-8}{{y}_{2}}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{-8}{{y}_{1}{y}_{2}}$，
設(shè)直線AB的方程為y=k₁（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k₁y²-4y-4k₁=0，
可得y₁y₂=-4，
則$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{-8}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{-8}{-4}$=2．
故$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$為定值2．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運(yùn)用四點(diǎn)共圓和正弦定理、余弦定理，考查直線的斜率的比為定值的問題，注意運(yùn)用直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．