Question

函數(shù)f（x）=|cosx|-cosx具備的性質(zhì)有

 

． （將所有符合題意的序號都填上）
（1）f（x）是偶函數(shù)；
（2）f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期為π；
（3）f（x）在[

π

2

，π]上是增加的；
（4）f（x）的最大值為2．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的奇偶性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由偶函數(shù)的定義，即可判斷（1）；運(yùn)用周期函數(shù)的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可判斷（2）；
由余弦函數(shù)的圖象和單調(diào)性，即可判斷（3）；運(yùn)用余弦函數(shù)的值域和絕對值的定義，即可得到最大值，即可判斷（4）．

解答： 解：對于（1），f（-x）=|cos（-x）|-cos（-x）=|cosx|-cosx=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)．則（1）正確；
對于（2），由f（x+π）=|cos（x+π）|-cos（x+π）=|cosx|+cosx≠f（x），即π不是周期，
由f（x+2π）=|cos（x+2π）|-cos（x+2π）=|cosx|-cosx=f（x），則f（x）為周期函數(shù)，
最小正周期為2π．則（2）錯誤；
對于（3），當(dāng)x∈[

π

2

，π]時，cosx＜0，即有f（x）=-cosx-cosx=-2cosx，
cosx在[

π

2

，π]上是遞減的，則f（x）在[

π

2

，π]上是遞增的，則（3）正確；
對于（4），當(dāng)cosx＞0時，f（x）=0；當(dāng)cosx＜0時，f（x）=-2cosx，且cosx=-1時，
f（x）取得最大值2．則（4）正確．
故答案為：（1）（3）（4）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．