Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+mx²-m（m＞0）
（1）當m=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=|f（x）|，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值；
（3）若存在t≤0，使得函數(shù)f（x）圖象上有且僅有兩個不同的點，且函數(shù)f（x）的圖象在這兩點處的兩條切線都經(jīng)過點（2，t），試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系列出不等式求解即可；
（2）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）最大值和最小值，再分類討論，即可求出函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值；
（3）假設(shè)切點為（x₀，y₀），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點（2，t）代入，根據(jù)t≤0，得到4x₀³-3mx₀²+m≥0，由于函數(shù)f（x）圖象上有且僅有兩個不同的點，則判別式大于0，解得即可．

解答 解：（1）m=1時，f（x）=-x³+x²-1，
f′（x）=-x（3x-2），令f′（x）＜0，
解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0），（$\frac{2}{3}$，+∞）遞減；
（2）由（1）知，f′（x）=-3x²+2mx=-x（x-$\frac{2}{3}$m），
當m＞0時，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{2}{3}$m）上單調(diào)增，在（$\frac{2}{3}$m，m）上單調(diào)遞減，
∵f（0）=-m＜0，f（m）=-m³+m³-m=-m＜0，
∴f（x）_min=-m，
f（x）_max=-（$\frac{2}{3}$m）³+m×（$\frac{2}{3}$m）²-m=$\frac{4}{27}$m³-m，
當$\frac{4}{27}$m³-m＜0時，即0＜m＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴g（x）=|f（x）|，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為m，
當$\frac{4}{27}$m³-m≥0時，即m≥$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
若m≥$\frac{4}{27}$m³-m，即$\frac{3\sqrt{3}}{2}$≤m≤$\frac{3\sqrt{6}}{2}$時，
∴g（x）=|f（x）|，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為m，
若m＜$\frac{4}{27}$m³-m，即m＞$\frac{3\sqrt{6}}{2}$時，
∴g（x）=|f（x）|，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為$\frac{4}{27}$m³-m，
綜上所述：當0＜m≤$\frac{3\sqrt{6}}{2}$時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為m，
當m＞$\frac{3\sqrt{6}}{2}$時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為$\frac{4}{27}$m³-m．
（Ⅲ）假設(shè)切點為（x₀，y₀），
∵f′（x）=-3x²+2mx，
∴k=f′（x₀）=-3x₀²+2mx₀，f（x₀）=-x₀³+mx₀²-m，
∴切線方程為y-（-x₀³+mx₀²-m）=（-3x₀²+2mx₀）（x-x₀），即為y=（-3x₀²+2mx₀）x+（2x₀³-mx₀²-m）
∵函數(shù)f（x）的圖象在這兩點處的兩條切線都經(jīng)過點（2，t），
∴t=2（-3x₀²+2mx₀）+（2x₀³-mx₀²-m）=-4x₀³+3mx₀²-m，
∵t≤0，
∴-4x₀³+3mx₀²-m≤0，
即4x₀³-3mx₀²+m≥0，
∵函數(shù)f（x）圖象上有且僅有兩個不同的點，
∴△=9m²-16m＞0，
解得m＞$\frac{16}{9}$
故m的取值范圍為（$\frac{16}{9}$，+∞）

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)應(yīng)用，及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，函數(shù)的最值問題以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義和方程的解得問題，解題中注意分類討論思想的運用，屬于難題．