Question

20．定義在R上的函數(shù)f（x）=e^2x-2x+x²，g（x）=f（$\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1-a）x+a．
（1）求函數(shù)g（x）的最大值；
（2）如果s、t、r滿足|s-r|≤|t-r|，那么稱s比t更靠近r．當(dāng)a≥2且x≥1時(shí)，試比較$\frac{e}{x}$和e^x-1+a哪個(gè)更靠近lnx，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出g（x）=e^x-a（x-1），從而g′（x）=e^x-a，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)g（x）無最大值．
（2）設(shè)P（x）=$\frac{e}{x}-lnx$，q（x）=e^x-1+a-lnx，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出p（x）在x∈[1，+∞）上為減函數(shù)，q（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出在a≥2，x≥1時(shí)，$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．

解答 解：（1）∵f（x）=e^2x-2x+x²，
∴g（x）=f（$\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1-a）x+a=e^x+$\frac{1}{4}$x²-x-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+（1-a）x+a=e^x-a（x-1）．
∴g′（x）=e^x-a．
①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）無最大值；
②當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）=e^x-a=0得x=lna，
∴x∈（-∞，lna）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；x∈（lna，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
函數(shù)g（x）無最大值．
（2）設(shè)P（x）=$\frac{e}{x}-lnx$，q（x）=e^x-1+a-lnx，
∵${p}^{'}（x）=-\frac{e}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}＜0$，∴p（x）在x∈[1，+∞）上為減函數(shù)，
又P（e）=0，∴當(dāng)1≤x≤e時(shí)，p（x）≥0，當(dāng)x＞e時(shí)，p（x）＜0，
∵${q}^{'}（x）={e}^{x-1}-\frac{1}{x}$，${q}^{''}（x）={e}^{x-1}+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴q′（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，
又q′（1）=0，∴x∈[1，+∞）時(shí)，q′（x）≥0，∴q（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴q（x）≥q（1）=a+1＞0．
①當(dāng)1≤x≤e時(shí)，|p（x）|-|q（x）|=p（x）-q（x）=$\frac{e}{x}-{e}^{x-1}-a$，
設(shè)m（x）=$\frac{e}{x}-{e}^{x-1}-a$，則${m}^{'}（x）=-\frac{e}{{x}^{2}}-{e}^{x-1}＜0$，
∴m（x）在x∈[1，+∞）上為減函數(shù)，
∴m（x）≤m（1）=e-1-a，
∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，
∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．
②當(dāng)x＞e時(shí)，|p（x）|-|q（x）|=-p（x）-q（x）=-$\frac{e}{x}$+2lnx-e^x-1-a＜2lnx-e^x-1-a，
設(shè)n（x）=2lnx-e^x-1-a，則${n}^{'}（x）=\frac{2}{x}-{e}^{x-1}$，${n}^{''}（x）=-\frac{2}{{x}^{2}}-{e}^{x-1}$＜0，
∴n（x）＜n（e）=2-a-e^e-1＜0，
∴|p（x）|＜|q（x）|，∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．
綜上，在a≥2，x≥1時(shí)，$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來描述函數(shù)的單調(diào)性等情況．本小題主要考查考生分類討論思想的應(yīng)用，對(duì)考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解有較高要求．