Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F（2，0），點P（2，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$）在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F的直線，交橢圓C于A、B兩點，點M在橢圓C上，坐標原點O恰為△ABM的重心，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=2，|PF|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，運用勾股定理可得|PF₁|，再由橢圓的定義可得2a，由a，b，c的關系可得b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）顯然直線l與x軸不垂直，設l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，運用韋達定理和三角形的重心坐標公式可得M的坐標，代入橢圓方程，解方程即可得到所求直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得c=2，左焦點F₁（-2，0），|PF|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以|PF₁|=$\sqrt{|PF{|}^{2}+4{c}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$，即2a=|PF|+|PF₁|=2$\sqrt{6}$，
即a²=6，b²=a²-c²=2，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）顯然直線l與x軸不垂直，
設l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將l的方程代入C得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
可得x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
所以AB的中點N （$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{-2k}{1+3{k}^{2}}$），
由坐標原點O恰為△ABM的重心，可得M （$\frac{-12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+3{k}^{2}}$）．
由點M在C上，可得15k⁴+2k²-1=0，
解得k²=$\frac{1}{5}$或-$\frac{1}{3}$（舍），即k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$（x-2）．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的定義和a，b，c的關系及點滿足橢圓方程，同時考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和三角形的重心坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．