Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥DC，平面PAD⊥平面ABCD，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2$\sqrt{5}$，點(diǎn)M在PC上，PM=mMC．
（1）求證：平面PAD⊥平面MBD；
（2）試確定m的值，使三棱錐P-ABD體積為三棱錐P-MBD體積的3倍．

Answer 1

分析 （1）欲證平面MBD⊥平面PAD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面MBD內(nèi)一直線與平面PAD垂直，而根據(jù)平面PAD與平面ABCD垂直的性質(zhì)定理可知BD⊥平面PAD；
（2）由PM=mMC，可得三棱錐P-MBD體積=$\frac{m}{m+1}$×三棱錐P-BCD體積，三棱錐P-ABD體積為三棱錐P-MBD體積的3倍，可得三棱錐P-MBD體積=$\frac{2}{3}$V_P-BCD，即可求出m的值．

解答 （1）證明：在△ABD中，
由于AD=2，BD=4，AB=2$\sqrt{5}$，
所以AD²+BD²=AB²．故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD．
（2）解：∵PM=mMC，
∴三棱錐P-MBD體積=$\frac{m}{m+1}$×三棱錐P-BCD體積，
∵AB=2DC=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ABD=2S_△BCD，
∴V_P-ABD=2V_P-BCD，
∵三棱錐P-ABD體積為三棱錐P-MBD體積的3倍，
∴三棱錐P-MBD體積=$\frac{2}{3}$V_P-BCD，
∴$\frac{m}{m+1}$=$\frac{2}{3}$，
∴m=2．

點(diǎn)評 本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及棱錐的體積等有關(guān)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．