Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，2cos²$\frac{C}{2}$-1），$\overrightarrow{n}$=（c，b-2a），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若點D為邊AB上一點，且滿足$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$，|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{7}$，c=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算列出關系式，根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式化簡，求出cosC的值，
（Ⅱ）利用向量的幾何意義和向量的模的計算以及余弦定理和三角形的面積公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，2cos²$\frac{C}{2}$-1），$\overrightarrow{n}$=（c，b-2a），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，
∴c•cosB+（b-2a）cosC=0，
由正弦定理可得，
sinCcosB+（sinB-2sinA）cosC=0，
∴sinA-2sinAcosC=0，
∵sinA≠0，
∴cosC-$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$，
（Ⅱ）$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$，|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{7}$，c=2$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CD}$，
∴2$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$，
兩邊平方得4|$\overrightarrow{CD}$|²=b²+a²+2accosC=b²+a²+ac=28，（1），
∵c²=b²+a²-2accosC=b²+a²-ac=12，（2），
由（1），（2）可得ab=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=2$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導公式，以及平面向量的數(shù)量積運算，熟練掌握公式是解本題的關鍵．