Question

19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x≤1}\\{-{x}^{2}+2x+3，x＞1}\end{array}\right.$，則使得f（x）-e^x-m≤0恒成立的m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． （2，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 運(yùn)用參數(shù)分離的方法，分別討論當(dāng)x≤1時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）-e^x的單調(diào)性和最大值的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，最后求交集即可．

解答 解：當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）-e^x-m≤0即為m≥x+3-e^x，
可令g（x）=x+3-e^x，則g′（x）=1-e^x，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．g（x）在x=0處取得極大值，也為最大值，且為2，
則有m≥2  ①
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）-e^x-m≤0即為m≥-x²+2x+3-e^x，
可令h（x）=-x²+2x+3-e^x，h′（x）=-2x+2-e^x，由x＞1，則h′（x）＜0，
即有h（x）在（1，+∞）遞減，則有h（x）＜h（1）=4-e，
則有m≥4-e  ②
由①②可得，m≥2成立．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，同時(shí)考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求最值的方法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．