Question

8．設(shè)函數(shù)f₀（x）=sinx-cosx，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N，則${f_{2013}}（\frac{π}{3}）$=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，尋找函數(shù)的規(guī)律性，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f₀（x）=sinx-cosx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=cosx+sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx+cosx，
f₃（x）=f₄′（x）=-cosx-sinx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx-cosx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx+sinx，
…，
f_n+4（x）=f_n′（x），
即函數(shù)f_n（x）是周期為4的周期函數(shù)，
則f₂₀₁₃（x）=f_503×4+1（x）=f₁（x）=sinx+cosx，
∴f₂₀₁₃（$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{3}$=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，
故答案為：$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，要求熟練掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，確定函數(shù)f_n（x）是周期為4的周期函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．