Question

9．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減的是（　�。�

• A． y=sinx
• B． y=-|x+1|
• C． y=ln$\frac{1-x}{1+x}$
• D． y=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）

Answer 1

分析 根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，奇函數(shù)在原點有定義時，原點處的函數(shù)值為0，以及奇函數(shù)定義，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，反比例函數(shù)的單調(diào)性，以及偶函數(shù)的定義便可判斷每個選項的正誤，從而找出正確選項．

解答 解：A．y=sinx在（-1，1）上單調(diào)遞增，∴該選項錯誤；
B．x=0時，y=-1，即該函數(shù)不過原點，∴不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤；
C．解$\frac{1-x}{1+x}＞0$得，-1＜x＜1；且$ln\frac{1-（-x）}{1+（-x）}=ln\frac{1+x}{1-x}=-ln\frac{1-x}{1+x}$；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
設(shè)$t=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}$，則y=lnt為增函數(shù)，且$t=-1+\frac{2}{1+x}$在（-1，1）上為減函數(shù)；
∴函數(shù)$y=ln\frac{1-x}{1+x}$在（-1，1）上為減函數(shù)，∴該選項正確；
D．設(shè)y=f（x），顯然f（-x）=f（x）；
∴該函數(shù)是偶函數(shù)，∴該選項錯誤．
故選C．

點評 考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時，原點處的函數(shù)值為0，以及對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷．