Question

下列四個(gè)命題中：
（1）如果兩個(gè)函數(shù)都是增函數(shù)，那么這兩函數(shù)的積運(yùn)算所得函數(shù)為增函數(shù)；
（2）奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，則f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）既是奇函數(shù)有時(shí)偶函數(shù)的函數(shù)只有一個(gè)；
（4）若函數(shù)的最小值是a，最大值是b，則其值域?yàn)閇a，b]．
其中假命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）舉例說(shuō)明：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=x與y=-

1

x

均為增函數(shù)，y=x•（-

1

x

）=-1不是增函數(shù)，可判斷①；
（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)“奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同”可判斷②；
（3）舉例說(shuō)明，x∈（-1，1）時(shí)，f（x）=0與f（x）=

1-x2

+

x2-1

均為既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，可判斷③；
（4）構(gòu)造函數(shù)，若a＜b，函數(shù)f（x）=

a，x是無(wú)理數(shù) b，x是有理數(shù)

，則f（x）值域?yàn)閧a，b}，可判斷④．

解答： 解：解：（1），當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=x與y=-

1

x

均為增函數(shù)，但這兩個(gè)函數(shù)的積運(yùn)算所得函數(shù)為y=x•（-

1

x

）=-1不是增函數(shù)（為常函數(shù)），故（1）錯(cuò)誤；
（2），奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，則f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，而f（0）不一定存在，（2）錯(cuò)誤；
（3），既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一個(gè)，錯(cuò)誤．如x∈（-1，1）時(shí)，f（x）=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)；f（x）=

1-x2

+

x2-1

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，故（3）錯(cuò)誤；
（4），若a＜b，函數(shù)f（x）=

a，x是無(wú)理數(shù) b，x是有理數(shù)

，
即函數(shù)f（x）的最小值是a，最大值是b，則f（x）值域?yàn)閧a，b}，而不是[a，b]，故（4）錯(cuò)誤．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，靈活構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．