Question

12．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，則S₃=-$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 由于S_n=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，分別令n=1，3，4即可得出a₁，a₂，a₃，進(jìn)而得到S₃．

解答 解：∵S_n=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
∴a₁=-a₁-$\frac{1}{2}$，
解得a₁=-$\frac{1}{4}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴令n=3可得，a₃=-a₃-$\frac{1}{8}$-a₂+$\frac{1}{4}$即2a₃=$\frac{1}{8}$-a₂，
令n=4可得，a₄=a₄-$\frac{1}{16}$-（-a₃）+$\frac{1}{8}$，
解得a₃=-$\frac{1}{16}$，a₂=$\frac{1}{4}$．
則S₃=a₁+a₂+a₃=-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{16}$=-$\frac{1}{16}$．
故答案為：-$\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．