Question

6．已知雙曲線的一條漸近線為y-x=0，且過點(diǎn)（$\sqrt{5}$，1）
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=kx-1與上述所得雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出方程，代入點(diǎn)，即可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1-k²）x²+2kx-5=0．①因?yàn)橹本�與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則①式方程只有一解，分類討論，求k的值．

解答 解：（1）依題意設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ
又因?yàn)辄c(diǎn)（$\sqrt{5}$，1）在雙曲線上，可得λ=4，
所求的雙曲線方程為x²-y²=4---------------------------------------------（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1-k²）x²+2kx-5=0．①
因?yàn)橹本�與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則①式方程只有一解．
當(dāng)1-k²=0，即k=±1時(shí)，①式方程只有一解；
當(dāng)1-k²≠0時(shí)，應(yīng)滿足△=4k²+20（1-k²）=0，
解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$，故k的值為±1或±$\frac{\sqrt{5}}{2}$．---------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題．