Question

4．如圖半⊙O的直徑為2，A為直徑MN延長線上一點，且OA=2，B為半圓周上任一點，以AB為邊作等邊△ABC（A、B、C按順時針方向排列）問∠AOB為多少時，四邊形OACB的面積最大？這個最大面積是多少？

Answer 1

分析 設∠AOB=θ，根據(jù)余弦定理，表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進而表示出四邊形OACB的面積，并化簡函數(shù)的解析式為正弦型函數(shù)的形式，再結合正弦型函數(shù)最值的求法進行求解．

解答 解：四邊形OACB的面積=△OAB的面積+△ABC的面積
設∠AOB=θ，
則△ABC的面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}（O{B}^{2}+O{A}^{2}-2OB•OA•cosθ）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}（5-4cosθ）$
△OAB的面積=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sinθ=$\frac{1}{2}$•2•1•sinθ=sinθ
四邊形OACB的面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}（5-4cosθ）$+sinθ=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（θ-60°）
∴當θ-60°=90°，
即θ=150°時，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2．

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，確定函數(shù)的模型是關鍵．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，屬于中檔題．