Question

【題目】[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)）.直線與曲線分別交于兩點.

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）若點的極坐標(biāo)為，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為：， 直線的普通方程為.

（2）

【解析】

（1）利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，可得直線的普通方程，極坐標(biāo)方程兩邊同乘以利用 即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.

（1）由，得，

所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，

即， 直線的普通方程為.

(2)將直線的參數(shù)方程代入并化簡、整理，

得. 因為直線與曲線交于，兩點。

所以，解得.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得，.

因為點的直角坐標(biāo)為，在直線上.所以，

解得，此時滿足.且，故.．