Question

14．數列{a_n}的前n項和為S_n．若數列{a_n}的各項按如下規(guī)則排列：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$…$\frac{1}{n}$，$\frac{2}{n}$，…$\frac{n-1}{n}$…若存在正整數k，使S_k-1＜10，S_k＞10，則a_k=$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 把原數列劃分，發(fā)現他們的個數是1，2，3，4，5…構建新數列b_n，很顯然是個等差數列，利用等差數列的和知道T₅=$\frac{15}{2}$，T₆=$\frac{21}{2}$，所以a_k定在$\frac{1}{7}$，$\frac{2}{7}$，…，$\frac{6}{7}$中，在根據S_k-1＜10，S_k≥10求出具體結果．

解答 解：把原數列分組，分母相同的為一組，發(fā)現他們的個數是1，2，3，4，5…
構建新數列{b_n}，表示數列中每一組的和，則b_n=$\frac{n}{2}$是個等差數列，記{b_n}的前n項和為T_n，
利用等差數列的和知道T₅=$\frac{15}{2}$，T₆=$\frac{21}{2}$，
所以a_k定在$\frac{1}{7}$，$\frac{2}{7}$，…，$\frac{6}{7}$中，
又因為S_k-1＜10，S_k≥10，而T₅+$\frac{1}{7}$+$\frac{2}{7}$+…+$\frac{5}{7}$=9+$\frac{9}{14}$＜10，T₅+$\frac{1}{7}$+$\frac{2}{7}$+…+$\frac{5}{7}$+$\frac{6}{7}$=10+$\frac{1}{2}$＞10，
故第k項為a_k=$\frac{6}{7}$．
故答案為$\frac{6}{7}$．

點評 本題目主要考查學生對數列的觀察能力，找出數列之間的相互關系，根據等差數列的前n項和計算公式，根據已有條件計算．考查學生的計算能力．