Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2a_n=S_n+2．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：n≥5（n∈N^*）時，不等式a_n＞n²．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關系與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）法一：利用數(shù)學歸納法證明；
法二：利用二項式定理展開證明即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，由2a₁=S₁+2=a₁+2，得a₁=2．
當n≥2時，由$\left\{\begin{array}{l}2{a_n}={S_n}+2\\ 2{a_{n-1}}={S_{n-1}}+2\end{array}\right.$，
得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，
∴數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
故${a_n}={2^n}$．
（Ⅱ）法一：（i）當n=5時，2⁵＞5²，不等式成立；
（ii）假設n=k（k≥5）時，不等式成立，即2^k＞k²，
當n=k+1時，則2^k+1＞2k²，
而當k≥5時，2k²-（k+1）²=（k-1）²-2＞0，
故2^k+1＞（k+1）²，∴當n=k+1時，不等式成立；
綜上，對于n≥5的一切正整數(shù)，不等式均成立．
法二：$n≥5，{2^n}=C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^0$≥2$（{∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+{∁}_{n}^{2}）$=n²+2n+2＞n²．

點評 本題考查了遞推關系、等比數(shù)列的通項公式、數(shù)學歸納法、二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．