Question

8．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個不共線的單位向量，向量$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow$，λ∈R，且|$\overrightarrow{c}$|=$\frac{1}{2}$，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，根據(jù)條件便可得出A，B，C三點共線，并可得出當OC⊥AB時，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$最小，結合圖形即可求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的最小值．

解答 解：作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，則：
$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$，且$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1，|\overrightarrow{OC}|=\frac{1}{2}$；
∴A，B，C三點共線，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$，如圖所示，當OC⊥AB時，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$最�。�
∠OAC=30°，AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$AB=\sqrt{3}$；
即$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的最小值為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 考查數(shù)形結合解題的方法，三點A，B，C共線的充要條件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，x+y=1，向量減法的幾何意義，以及三角函數(shù)的定義．