Question

乒乓球賽規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分．設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為

3

5

，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球．
（Ⅰ）求開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率；
（Ⅱ）ξ表示開始第4次發(fā)球時(shí)乙的得分，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）記A_i為事件“第i次發(fā)球，甲勝”，i=1，2，3，則P（A₁）=P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

．“開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2”為事件A1

.

A2

.

A3

+

.

A1

A₂

.

A3

+

.

A1

.

A2

A3，由此能求出開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率．
（2）由題意ξ=0，1，2，3．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出Eξ．

解答： 解：（1）記A_i為事件“第i次發(fā)球，甲勝”，i=1，2，3，
則P（A₁）=P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

．
“開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2”為事件
A1

.

A2

.

A3

+

.

A1

A₂

.

A3

+

.

A1

.

A2

A3，
其概率為
P（A1

.

A2

.

A3

+

.

A1

A₂

.

A3

+

.

A1

.

A2

A3）=2×

3

5

×

2

5

×

3

5

+

2

5

×

2

5

×

2

5

=

44

125

，
即開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率為

44

125

．…（6分）
（2）由題意ξ=0，1，2，3．
P（ξ=0）=

3

5

×

3

5

×

2

5

=

18

125

，
P（ξ=1）=2×

2

5

×

3

5

×

2

5

+（

3

5

）³=

51

125

，
P（ξ=2）=2×

3

5

×

2

5

×

3

5

+

2

5

×

2

5

×

2

5

=

44

125

，
P（ξ=3）=

2

5

×

2

5

×

3

5

=

12

125

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	8 125	51 125	44 125	12 125

所以Eξ=0×

18

125

+1×

51

125

+2×

44

125

+3×

12

125

=

7

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識(shí)的合理運(yùn)用．