Question

18．已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)$（{2，\sqrt{3}}）$，且雙曲線的一個焦點(diǎn)在拋物線${x^2}=4\sqrt{7}y$的準(zhǔn)線上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． $\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{4}=1$
• B． $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{3}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程易得其準(zhǔn)線方程，從而可得雙曲線的焦點(diǎn)，再根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程，得a、b的另一個方程，求出a、b，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意，$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵拋物線${x^2}=4\sqrt{7}y$的準(zhǔn)線方程為y=-$\sqrt{7}$，雙曲線的一個焦點(diǎn)在拋物線${x^2}=4\sqrt{7}y$的準(zhǔn)線上，
∴c=$\sqrt{7}$，
∴a²+b²=c²=7，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
故選A．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．