Question

設(shè)f（x）=x³+log₂（x+

x2+1

），若a，b∈R，且 f（a）+f（b）≥0，則一定有（　�。�

• A、a+b≤0
• B、a+b＜0
• C、a+b≥0
• D、a+b＞0

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令g（x）=log₂（x+

x2+1

），x∈R，利用奇函數(shù)的定義可得g（x）=log₂（x+

x2+1

）為奇函數(shù)，又y=x³為奇函數(shù)，于是可知f（x）=x³+log₂（x+

x2+1

）為奇函數(shù)；利用f′（x）≥0可知f（x）=x³+log₂（x+

x2+1

）為R上的增函數(shù)，從而可得答案．

解答： 解：令g（x）=log₂（x+

x2+1

），x∈R，
∵g（-x）+g（x）=log₂（x+

x2+1

）+log₂（-x+

x2+1

）=log₂[（x+

x2+1

）（-x+

x2+1

）]=log₂1=0，
∴g（-x）=-g（x），
∴g（x）=log₂（x+

x2+1

）為奇函數(shù)，又y=x³為奇函數(shù)，
∴f（x）=x³+log₂（x+

x2+1

）為奇函數(shù)．
又f′（x）=3x²+

1+ 1 2 • 2x x2+1

(x+ x2+1 )ln2

=3x²+

1+ x x2+1

(x+ x2+1 )ln2

＞0，
∴f（x）=x³+log₂（x+

x2+1

）為R上的增函數(shù)，
∵f（a）+f（b）≥0，
∴f（a）≥-f（b）=f（-b），
∴a≥-b，即a+b≥0．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，分析得到f（x）=x³+log₂（x+

x2+1

）為奇函數(shù)且為R上的增函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．