Question

7．平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=a+t\end{array}$（t為參數(shù)，a為常數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}$（α為參數(shù)，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），以原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）寫出直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C有且只有一個公共點，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}$（α為參數(shù)，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），利用cos²α+sin²α=1化為直角坐標(biāo)方程，再利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ=0，可得極坐標(biāo)方程（$0≤θ≤\frac{π}{2}$）．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=a+t\end{array}$（t為參數(shù)，a為常數(shù)），消去參數(shù)t可得直角坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可化為極坐標(biāo)方程．
（2）將ρ=4sinθ（$0≤θ≤\frac{π}{2}$）代入ρcosθ-ρsinθ+a=0可得：$2\sqrt{2}sin（{2θ+\frac{π}{4}}）=2-a$，令$2θ+\frac{π}{4}=t$，如圖作出$y=2\sqrt{2}sint$（$\frac{π}{4}≤t≤\frac{5π}{4}$）和y=2-a的圖象，即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}$（α為參數(shù)，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），
化為直角坐標(biāo)方程：x²+（y-2）²=4，
展開可得：x²+y²-4y=0，化為極坐標(biāo)方程：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ（$0≤θ≤\frac{π}{2}$），
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=a+t\end{array}$（t為參數(shù)，a為常數(shù)），
消去參數(shù)t可得：y=a+x，化為極坐標(biāo)方程：ρcosθ-ρsinθ+a=0．
（2）將ρ=4sinθ（$0≤θ≤\frac{π}{2}$）代入ρcosθ-ρsinθ+a=0得：4sinθcosθ-4sinθsinθ+a=0，即$2\sqrt{2}sin（{2θ+\frac{π}{4}}）=2-a$，
令$2θ+\frac{π}{4}=t$，∵$0≤θ≤\frac{π}{2}$，則$\frac{π}{4}≤t≤\frac{5π}{4}$．如圖作出$y=2\sqrt{2}sint$（$\frac{π}{4}≤t≤\frac{5π}{4}$）和y=2-a的圖象，
由直線l與曲線C有且只有一個公共點，得$2-a=2\sqrt{2}$或-2≤2-a＜2，
即$a=2-2\sqrt{2}$或0＜a≤4．

點評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、參數(shù)方程化為普通方程、和差公式、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．