【題目】已知,
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,在其公共點(diǎn)處切線相同,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)記,若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為:;增區(qū)間為:(2)(3)a>e
【解析】
(1)根據(jù),求導(dǎo),由求減區(qū)間,由求增區(qū)間.
(2)由,求導(dǎo),根據(jù),在其公共點(diǎn)處切線相同,由求解.
(3)易得,x>0.,求導(dǎo),令得,,然后分a≤0和a>0兩種情況討論求解.
(1)因?yàn)?/span>,
所以,
得x=-1,
當(dāng)x<-1時(shí),;當(dāng)x>-1時(shí),.
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為:;增區(qū)間為:.
(2)由,.
因?yàn)辄c(diǎn)為函數(shù)的公共點(diǎn),且函數(shù)在點(diǎn)P處的切線相同,
所以,且.
所以,
即,
顯然a≠0,所以.
設(shè),由得,在上是單調(diào)增函數(shù),
又,所以.
(3)由得,,x>0.
則,
令得,.
設(shè),由(1)知,在上是單調(diào)增函數(shù).
1°當(dāng)a≤0時(shí),由x>0得,,
所以,所以在上是單調(diào)增函數(shù),至多1個(gè)零點(diǎn),不符,舍去.
2°當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)?/span>,,
由零點(diǎn)存在性定理,,在上是單調(diào)增函數(shù)且連續(xù),
所以存在唯一,使得,即.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
因?yàn)?/span>存在兩個(gè)零點(diǎn),
所以,即,從而.
所以.
因?yàn)?/span>在上是單調(diào)增函數(shù),
且,所以,
由(1)可知,在是單調(diào)遞增,
所以.
又,,
而,易得,,
所以,
由零點(diǎn)存在性定理知,函數(shù)在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn),在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn),
此時(shí)函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).
所以a>e.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在①,且,②,且,③,且這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,若問(wèn)題中的存在,求出和數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
設(shè)為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和,滿足________,是否存在,使得數(shù)列成為等差數(shù)列?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為了對(duì)某種商品進(jìn)行合理定價(jià),需了解該商品的月銷售量(單位:萬(wàn)件)與月銷售單價(jià)(單位:元/件)之間的關(guān)系,對(duì)近個(gè)月的月銷售量和月銷售單價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:
月銷售單價(jià)(元/件) | ||||||
月銷售量(萬(wàn)件) |
(1)若用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位實(shí)習(xí)員工求得回歸直線方程分別為:,和,其中有且僅有一位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的.請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識(shí),判斷哪位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的,并說(shuō)明理由;
(2)若用模型擬合與之間的關(guān)系,可得回歸方程為,經(jīng)計(jì)算該模型和(1)中正確的線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)分別為和,請(qǐng)用說(shuō)明哪個(gè)回歸模型的擬合效果更好;
(3)已知該商品的月銷售額為(單位:萬(wàn)元),利用(2)中的結(jié)果回答問(wèn)題:當(dāng)月銷售單價(jià)為何值時(shí),商品的月銷售額預(yù)報(bào)值最大?(精確到)
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】斐波拉契數(shù)列,指的是這樣一個(gè)數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,…,在數(shù)學(xué)上,斐波拉契數(shù)列{an}定義如下:a1=a2=1,an=an﹣1+an﹣2(n≥3,n∈N),隨著n的增大,越來(lái)越逼近黃金分割0.618,故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列,而以an+1、an為長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)方形稱為“最美長(zhǎng)方形”,已知某“最美長(zhǎng)方形”的面積約為200平方厘米,則該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)大約是( )
A.20厘米B.19厘米C.18厘米D.17厘米
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2﹣alnx(a<0).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1<x2),且關(guān)于x的方程f(x)=b(b∈R)恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根x3,x4,x5(x3<x4<x5),求證:2(x2﹣x1)>x5﹣x3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是由和組成的一個(gè)平面圖形,其中是的高,,,,將和分別沿著,折起,使得與重合于點(diǎn)B,G為的中點(diǎn),如圖2.
(1)求證:平面平面;
(2)若,求點(diǎn)C到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:()的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為1的直線與C交于A,B兩點(diǎn),.
(1)求C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交C于點(diǎn)M,N,點(diǎn)Q為的中點(diǎn),軸交C于點(diǎn)R,且,證明:動(dòng)點(diǎn)T在定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶,“火紋”是常見(jiàn)的一種傳統(tǒng)紋樣,為了測(cè)算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲2000個(gè)點(diǎn),己知恰有800個(gè)點(diǎn)落在陰影部分,據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是
A.B.C.D.
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