Question

已知f（x）=ln（2x+1），y=f（x）和y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=2x+1對(duì)稱，M，N分別為y=f（x）和y=g（x）上的點(diǎn)，則|MN|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意可判斷M，N分別為y=f（x）和y=g（x）上的點(diǎn)，|MN|的最小值時(shí)，即為M到直線y=2x+1的最近的位置，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷即可．

解答： 解：

f（x）=ln（2x+1），x＞-

1

2

，
f′（x）=

2

2x+1

，
∵直線y=2x+1，
∴

2

2x0+1

=2，
x₀=0，y₀=ln（2×0+1）=0，
點(diǎn)（0，0）到直線y=2x+1的距離為函數(shù)f（x）=ln（2x+1）上的點(diǎn)到直線y=2x+1最小，
∴d=

1

5

，
∵y=f（x）和y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=2x+1對(duì)稱，M，N分別為y=f（x）和y=g（x）上的點(diǎn)，
∴M（0，0）符合題意，
∴|MN|的最小值為

2 5

5

，
故答案為：

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，判斷最小值問(wèn)題，綜合運(yùn)用各種知識(shí)，屬于難度較大的題目，關(guān)鍵是分析的出求解思路．