Question

【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費(fèi)，超過x的部分按議價收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）若將頻率視為概率，從該城市居民中隨機(jī)抽取3人，記這3人中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計x的值（精確到0.01），并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：根據(jù)頻率和為1，得

（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，

解得a=0.30；

解：月均用水量不低于3噸的頻率為

（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，

則p=0.1，抽取的人數(shù)為X，

則X的可能取值為0，1，2，3；

∴P（X=0）= 0.93=0.729，

P（X=1）= 0.10.92=0.243，

P（X=2）= 0.120.9=0.027，

P（X=3）= 0.13=0.001；

∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.001

（Ⅲ）數(shù)學(xué)期望為EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；

（Ⅲ）解：由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占的百分比為

0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，

即73%的居民月均用水量小于2.5噸；

同理，88%的居民月均用水量小于3噸；

故2.5＜x＜3，

假設(shè)月均用水量平均分布，則

x=2.5+0.5× =2.9（噸），

即85%的居民每月用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)頻率和為1，列出方程求得a的值；（Ⅱ）計算月均用水量不低于3噸的頻率值，由抽取的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3；

計算對應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值；（Ⅲ）計算月均用水量小于2.5噸和小于3噸的百分比，

求出有85%的居民月用水量不超過的標(biāo)準(zhǔn)值．

【考點(diǎn)精析】掌握頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．