Question

19．已知向量$\overrightarrow a$是單位向量，向量$\overrightarrow b=（{2，2\sqrt{3}}）$，若$\overrightarrow a⊥（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，則$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求得cosθ的值，可得$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為θ的值．

解答 解：向量$\overrightarrow a$是單位向量，設(shè)$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為θ，
∵向量$\overrightarrow b=（{2，2\sqrt{3}}）$，若$\overrightarrow a⊥（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，∴|$\overrightarrow$|=$\sqrt{4+12}$=4，
∴$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2+1•4•cosθ=0，求得cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{2π}{3}$，
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．