Question

設(shè)α，β（α＜β）分別是二次方程ax²+bx+c=0和ax²-bx-c=0的非零根，求證：函數(shù)f（x）=

a

2

x²+bx+c總在區(qū)間（α，β）有零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意分別表示出f（α），β），得到f（α）f（β）＜0，從而問題得證．

解答： 解：由題意可知：aα²+bα+c=0，aβ²-bβ-c=0
bα+c=-aα²，bβ+c=aβ²，f（α）=

a

2

α²+bα+c=

a

2

α²-aα²=-

a

2

α²，
f（β）=

a

2

β²+bβ+c=

a

2

β²+aβ²=

3a

2

β²，因?yàn)閍≠0，α≠0，β≠0，
∴f（α）f（β）＜0，即函數(shù)f（x）=

a

2

x²+bx+c總在區(qū)間（α，β）有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，表示出f（α），β），得到f（α）f（β）＜0是解題的關(guān)鍵．