Question

已知函數(shù)f（x）=

|sinx|

x

，若k＞0時，方程f（x）=k有且僅有兩個不同的實數(shù)解x₁、x₂（x₁＜x₂），則（　�。�

• A、sinx₁=-x₁•cosx₂
• B、sinx₁=x₁•cosx₂
• C、cosx₂=-x₂•sinx₁
• D、cosx₂=x₂•sinx₁

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意構(gòu)造函數(shù)y₁=|sinx|，y₂=kx，然后分別做出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象和導數(shù)求出切點的坐標以及斜率，即可得到選項．

解答： 解：依題意可知x＞0
令y₁=|sinx|，y₂=kx，然后分別做出兩個函數(shù)的圖象．
因為原方程有且只有兩個解，所以y₂與y₁僅有兩個交點，而且第二個交點是y₁和y₂相切的點，
即點（x₂，|sinx₂|）為切點，因為（-sinx₂）′=-cosx₂，
所以切線的斜率k=-cosx₂．
而且點（x₁，sinx₁）在切線y₂=kx=-xcosx₂上．
于是將點（x₁，sinx₁）代入切線方程y₂=-xcosx₂
可得：sinx₁=-x₁cosx₂．
故選A．

點評：本題考查數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)圖象的交點與方程的根的關系，注意：y₁的圖象只有X軸右半部分和y軸上半部分，且原點處沒有值（因為x不等于0）；y₂的圖象是過原點的一條直線．