Question

已知函數(shù)y=xf（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=-（x+2）²，且f（x+2）=-f（x）．
（1）求x∈[-1，0]的解析式；
（2）求f（2008.5）的值．

Answer 1

解：（1）由xf（x）為偶函數(shù)可知：f（x）是奇函數(shù)．
設(shè)-1≤x≤0，則1≤x+2≤2
又f（x+2）=-f（x）可得：f（x）=x³
（2）f（x+2）=-f（x）?f（x）=-f（x-2）
得：f（x+2）=f（x-2）知T=4
得：f（2008）=f（0）=0，f（2008.5）=f（0.5）=-f（-0.5）=
分析：（1）先由xf（x）為偶函數(shù)得到f（x）是奇函數(shù)，設(shè)-1≤x≤0，則1≤x+2≤2，代入f（x）=-（x+2）²即可求出x∈[-1，0]的解析式；
（2）根據(jù)f（x+2）=-f（x）得到f（x）=-f（x-2），從而f（x+2）=f（x-2）得到周期T=4，即可求出f（2008.5）的值．
點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、周期性以及函數(shù)的解析式的求解等有關(guān)基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．