Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax-a}{{e}^{x}}+1$有且僅有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （-e²，0]
• B． （-∞，-e²）
• C． [-e²，0]
• D． [-e²，+∞）

Answer 1

分析 令f（x）=0，可得a（x-1）=-e^x，可得a=$\frac{{e}^{x}}{1-x}$在x≠1有且只有2個不等實根，等價為函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{1-x}$的圖象和直線y=a有且只有兩個交點．求出g（x）的導數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，即可得到所求a的范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{ax-a}{{e}^{x}}+1$，
令f（x）=0，可得a（x-1）=-e^x，
當x=1時，上式顯然不成立；
可得a=$\frac{{e}^{x}}{1-x}$在x≠1有且只有2個不等實根，
等價為函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{1-x}$的圖象和直線y=a有且只有兩個交點．
由g′（x）=$\frac{{e}^{x}（2-x）}{（1-x）^{2}}$，可得x＞2時，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當x＜1或1＜x＜2時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有x=2處，g（x）取得極大值-e²．
作出函數(shù)g（x）的圖象，如右：
由圖象可得a＜-e²時，直線y=a和y=g（x）的圖象有兩個交點．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的零點個數(shù)問題解法，注意運用函數(shù)方程的轉化思想和數(shù)形結合思想方法，考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查運算能力，屬于中檔題．