Question

（本題滿分12分）
已知點(diǎn)P（-1,）是橢圓E：（）上一點(diǎn)，F₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PF₁⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓E上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（0<λ<4，且λ≠2）．求證：直線AB的斜率等于橢圓E的離心率；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PAB面積取得最大值時(shí)，求λ的值．

Answer 1

解：（1）∵PF₁⊥x軸，
∴F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），
|PF₂|=，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，
橢圓E的方程為：；…………………3分

⑶設(shè)直線AB的方程為y=x+t，
與聯(lián)立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0,
△=3（4-t²），
AB|=，
點(diǎn)P到直線AB的距離為d=,
△ PAB的面積為S=|AB|×d=,  ………10分
設(shè)f（t）=S²=（t⁴-4t³+16t-16） （-2<t<2），
f’（t）=-3（t³-3t²+4）=-3（t+1）（t-2）²，由f’（t）=0及-2<t<2得t=-1．
當(dāng)t∈（-2,-1）時(shí)，f’（t）>0，當(dāng)t∈（-1,2）時(shí)，f’（t）<0，f（t）=-1時(shí)取得最大值，
所以S的最大值為．
此時(shí)x₁+x₂=-t=1=-2，=3．……………………………………12分

略