Question

11．三次函數(shù)f（x）=x³+ax+b+1在x=0處的切線方程為y=-3x-2
（1）求a，b；
（2）求f（x）單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線方程，根據(jù)系數(shù)對應(yīng)，求出a，b的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）f（x）=x³+ax+b+1，f′（x）=3x²+a，
f′（0）=a，f（0）=b+1，
切線方程是：y-（b+1）=ax，
即y=ax+b+1=-3x-2，
故a=-3，b=-3；
（2）f（x）=x³-3x-2，f′（x）=3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）的極大值是f（-1）=0，f（x）的極小值是f（1）=-4．

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，是一道中檔題．