Question

1．如圖，AC是圓O的直徑，ABCD是圓內(nèi)接四邊形，BE⊥DE于點E，且BE與圓O相切于點B．
（1）求證：CB平分∠ACE；
（2）若AB=6，BE=3，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）證明∠BCA=∠BCE，即可證明：CB平分∠ACE；
（2）求出AC=4$\sqrt{3}$，CB=2$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3}$，由切割線定理得EB²=EC•ED，即可求AD的長．

解答 （1）證明：∵BE與圓O相切于點B，
∴∠CBE=∠BAC．①
∵BE⊥DE
∴∠BCE=90°-∠CBE②
∴AC是圓O的直徑，
∴∠BCA=90°-∠BAC③
由①②③得∠BCA=∠BCE，
即CB平分∠ACE．
（2）解：由（1）知△ABC∽△BEC
∴AB=6，BE=3，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{BE}{AB}=\frac{1}{2}$，即sin$∠CAB=\frac{1}{2}$，
∴∠CBE=∠CAB=30°，故AC=4$\sqrt{3}$，CB=2$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3}$．
由切割線定理得EB²=EC•ED，
∴${3}^{2}=\sqrt{3}ED$，
∴$ED=3\sqrt{3}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∴AD=6．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查切割線定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．