Question

7．小王參加單位組織的乒乓球比賽，在小組賽中將進(jìn)行三場比賽，假設(shè)小王在第一場比賽中獲勝的概率為$\frac{4}{5}$，第二、第三場獲勝的概率為m，n（m＞n），且不同比賽場次是否獲勝相互獨(dú)立．記ξ為小王取得比賽勝利的次數(shù)且P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{24}{125}$
（1）求m，n的值；
（2）求數(shù)學(xué)期望Eξ

Answer 1

分析 （1）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式可得：P（ξ=0）=$\frac{1}{5}（1-m）（1-n）$=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{4}{5}$mn=$\frac{24}{125}$，解得m，n．
（2）利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算公式可得分布列，即可得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{24}{125}$，
得P（ξ=0）=$\frac{1}{5}（1-m）（1-n）$=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{4}{5}$mn=$\frac{24}{125}$，
解得m=$\frac{3}{5}$，n=$\frac{2}{5}$．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=1）=$\frac{4}{5}$（1-m）（1-n）+$\frac{1}{5}$m（1-n）+$\frac{1}{5}$（1-m）n=$\frac{37}{125}$，
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=$\frac{58}{125}$．

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{6}{125}$	$\frac{37}{125}$	$\frac{58}{125}$	$\frac{24}{125}$

Eξ=0×$\frac{6}{125}$+1×$\frac{37}{125}$+2×$\frac{58}{125}$+3×$\frac{24}{125}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．