Question

已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設(shè)．

(1)若曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的值；

(2)如何取值時，函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn).

 

Answer 1

（1）或；（2）當(dāng)時, 函數(shù)有一零點(diǎn)；

當(dāng)()，或（）時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)；

當(dāng)時，函數(shù)有一零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式設(shè)出函數(shù)g（x）的解析式，然后對其進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行求出a的值，進(jìn)而可確定函數(shù)g（x）、f（x）的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．

（2）先根據(jù)（1）的內(nèi)容得到函數(shù)y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x2+2x+m=0，然后先對二次項(xiàng)的系數(shù)等于0進(jìn)行討論，再當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0時，即為二次方程時根據(jù)方程的判別式進(jìn)行討論即可得到答案．

試題解析：（1）依題可設(shè) ()，則；

又的圖像與直線平行

， ，

設(shè)，則

當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，即取得最小值

當(dāng)時， 解得

當(dāng)時， 解得

（2）由()，得

當(dāng)時，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)；

當(dāng)時，方程有二解，

若，，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即

；若，，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即；

當(dāng)時，方程有一解, ,

函數(shù)有一零點(diǎn)

綜上，當(dāng)時, 函數(shù)有一零點(diǎn)；

當(dāng)()，或（）時，

函數(shù)有兩個零點(diǎn)；

當(dāng)時，函數(shù)有一零點(diǎn).

考點(diǎn)：１．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；２．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；３．函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．