Question

已知sin

α

2

+cos

α

2

=

6

2

．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若sin（α-β）=-

3

5

，α∈（

π

2

，π），β∈（π，

3π

2

），求cosβ的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知式子兩邊平方易得sinα=

1

2

；
（Ⅱ）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cosα和cos（α-β）的值，代入cosβ=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）計算可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵sin

α

2

+cos

α

2

=

6

2

，
∴兩邊平方可得1+2sin

α

2

cos

α

2

=

3

2

，
∴sinα=2sin

α

2

cos

α

2

=

1

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）sinα=

1

2

，又α∈（

π

2

，π），
∴cosα=-

1-sin2α

=-

3

2

，∴α=

5π

6

又∵β∈（π，

3π

2

），∴-

3π

2

＜-β＜-π，
∴-

2π

3

＜α-β＜-

π

6

，
又∵sin（α-β）=-

3

5

，∴cos（α-β）=

4

5

，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=-

3

2

×

4

5

+

1

2

×(-

3

5

)=-

4 3 +3

10

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬中檔題．