Question

在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.

（1）求證：；

（2）若，求三棱錐的體積.

 

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線線平行、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，利用面面垂直的性質(zhì)得BC⊥平面A1ACC1，則利用線面垂直的性質(zhì)得A1A⊥BC，由A1B⊥C1C，利用平行線A1A∥C1C，則A1A⊥A1B，利用線面垂直的判定得A1A⊥平面A1BC，則利用線面垂直的性質(zhì)得A1A⊥A1C；第二問，由于為等腰三角形，平面. A1ACC1⊥平面ABC，所以中邊AC上的高為斜三棱柱的高，而三棱錐與三棱錐的體積相等.

（1）因為平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，所以BC⊥平面A1ACC1，

所以A1A⊥BC．

因為A1B⊥C1C，A1A∥C1C，所以A1A⊥A1B，又BC∩A1B＝B，

所以A1A⊥平面A1BC，又A1C?平面A1BC，所以A1A⊥A1C． 5分

（2）由已知及（1），△A1AC是等腰直角三角形，AA1＝A1C＝2，AC＝．

因為平面A1ACC1⊥平面ABC，

所以Rt△A1AC斜邊上的高等于斜三棱柱ABC-A1B1C1的高，且等于． 7分

在Rt△ABC中，AC＝BC＝，S△ABC＝AC·BC＝4，

三棱柱ABC-A1B1C1的體積V＝S△ABC·＝． 10分

又三棱錐A1-ABC與三棱錐C-A1B1C1的體積相等，都等于V，

所以三棱錐B1-A1BC的體積V1＝V－2×V＝． 12分

考點：線線垂直、線面垂直、面面垂直、線線平行、三棱錐的體積.