Question

15．已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=BC=1，則三棱錐P-ABC外接球的體積為$\sqrt{6}π$．

Answer 1

分析 取PB的中點O，推導出O為外接球的球心，從而得到外接球半徑R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由此能求出結果．

解答 解：取PB的中點O，∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥BC，
又BC⊥AC，PC∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴OA=$\frac{1}{2}PB$，OC=$\frac{1}{2}$PB，
∴OA=OB=OC=OP，
∴O為外接球的球心，
又PA=2，AC=BC=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{6}$，
∴外接球半徑R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴${V}_{球}=\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{4}{3}π×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\sqrt{6}$π．
故答案為：$\sqrt{6}π$．

點評 本題考查三棱錐外接球的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．