Question

14．已知函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）（0＜φ＜π），若函數(shù)f（x+$\frac{π}{6}$）是偶函數(shù)，且f（$\frac{π}{6}$）=4．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=f（-x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，結(jié)合f（$\frac{π}{6}$）=4，0＜φ＜π，求出A和φ，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)g（x）=f（-x）=4sin（2x+$\frac{5π}{6}$），結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x+$\frac{π}{6}$）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，
又由f（$\frac{π}{6}$）=4，
可得：A=4，2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
又∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）函數(shù)g（x）=f（-x）=4sin（-2x+$\frac{π}{6}$）=4sin[π-（-2x+$\frac{π}{6}$）]=4sin（2x+$\frac{5π}{6}$）；
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z得：
-$\frac{π}{6}$+kπ≤2x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z
故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+2kπ]，k∈Z

點評 本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．