Question

4．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，圓C：x²+（y-5）²=r²與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若A、B、F三點(diǎn)共線，則AB的長度為（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 設(shè)出直線方程x=ty+1，分別聯(lián)立直線方程與拋物線方程和圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得等式，求得t的值，則答案可求．

解答 解：如圖，設(shè)AB所在直線方程為x=ty+1
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4ty-4=0①，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4t
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{{x}^{2}+（y-5）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，得（t²+1）y²+（2t-10）y+26-r²=0．
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{10-2t}{{t}^{2}+1}$，
則$4t=\frac{10-2t}{{t}^{2}+1}$，即4t³+4t=10-2t，
∴4t³+6t-10=0，解得：t=1．
∴AB所在直線方程為y=x-1，
則①化為y²-4y-4=0，
y₁+y₂=4，
∴|AB|=x₁+x₂+2=y₁+y₂+2+2=8．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．